某地区甲、乙两公司经营同一业务. 经验表明甲公司的客户每年有 1/3 继续留 作甲的客户, 而 2/3 转作乙的客户; 乙的客户有 3/5 转作甲的客户, 而 2/5 继续留作 乙的客户, 假定客户的总量不变. (1)假定起始年甲、乙两公司拥有的客户份额分别为 2/3 和 1/3, 求一年后客户 市场分配情况; (2)试确定起始年客户份额, 使甲、乙两公司在一年后市场份额不变.

客户市场份额分配问题

一年后客户市场分配情况

首先，我们来解决第一个问题，即在起始年甲公司拥有2/3的客户份额，乙公司拥有1/3的客户份额的情况下，一年后的客户市场分配情况。

• 甲公司原有客户中，有1/3继续保留，即 $ \frac{2}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{2}{9} $ 。
• 甲公司原有客户中，有2/3转作乙的客户，即 $ \frac{2}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{4}{9} $ 。
• 乙公司原有客户中，有3/5转作甲的客户，即 $ \frac{1}{3} \times \frac{3}{5} = \frac{1}{5} $ 。
• 乙公司原有客户中，有2/5继续保留，即 $ \frac{1}{3} \times \frac{2}{5} = \frac{2}{15} $ 。

将这些份额相加，我们得到一年后甲公司的客户份额为 $ \frac{2}{9} + \frac{1}{5} = \frac{13}{45} $ ，乙公司的客户份额为 $ \frac{4}{9} + \frac{2}{15} = \frac{23}{45} $ 135。

确定起始年客户份额

接下来，我们解决第二个问题，即确定起始年客户份额，使甲、乙两公司在一年后市场份额不变。

设起始年甲公司的客户份额为 $ x $ ，则乙公司的客户份额为 $ 1 - x $ 。根据题目中给出的转换比例，我们可以得到以下方程：

• 一年后甲公司的客户份额为 $ x \times \frac{1}{3} + (1 - x) \times \frac{3}{5} $ 。
• 一年后乙公司的客户份额为 $ x \times \frac{2}{3} + (1 - x) \times \frac{2}{5} $ 。

要使市场份额不变，即一年后的份额等于起始年的份额，我们有：

$ x = x \times \frac{1}{3} + (1 - x) \times \frac{3}{5} $ $ 1 - x = x \times \frac{2}{3} + (1 - x) \times \frac{2}{5} $

解这个方程组，我们可以得到 $ x $ 的值。通过计算，我们发现 $ x = \frac{3}{7} $ ，因此乙公司的起始份额为 $ 1 - x = \frac{4}{7} $ 135。

这样，当起始年甲公司拥有3/7的客户份额，乙公司拥有4/7的客户份额时，一年后他们的市场份额将保持不变。