根据以往的临床记录，知道乙肝患者对某种试验呈阳性反应的概率为0.95，非乙肝患者对该试验呈阳性反应的概率为0.01，一个来自普通人群的被试者患有乙肝的概率为0.005。若已知此人试验结果呈阳性，求此人真正患有乙肝的概率？如果复查还是呈阳性，问此人真正患乙肝的概率又是多少？

根据贝叶斯定理，我们可以计算出在已知试验结果呈阳性的情况下，一个人真正患有乙肝的概率。贝叶斯定理的公式为：

$ P(A|B) = \frac{P(B|A) \times P(A)}{P(B)} $

其中：

• $ P(A|B) $ 是在事件B发生的条件下事件A发生的概率。
• $ P(B|A) $ 是在事件A发生的条件下事件B发生的概率。
• $ P(A) $ 是事件A发生的概率。
• $ P(B) $ 是事件B发生的概率。

🔍 初始阳性结果下乙肝概率计算

• 已知条件：

  • $ P(\text{乙肝}) = 0.005 $（普通人群中乙肝患者的概率）
  • $ P(\text{非乙肝}) = 1 - P(\text{乙肝}) = 0.995 $
  • $ P(\text{阳性}|\text{乙肝}) = 0.95 $（乙肝患者对试验呈阳性的概率）
  • $ P(\text{阳性}|\text{非乙肝}) = 0.01 $（非乙肝患者对试验呈阳性的概率）

• 计算总阳性概率 $ P(\text{阳性}) $： $ P(\text{阳性}) = P(\text{阳性}|\text{乙肝}) \times P(\text{乙肝}) + P(\text{阳性}|\text{非乙肝}) \times P(\text{非乙肝}) $ $ P(\text{阳性}) = 0.95 \times 0.005 + 0.01 \times 0.995 = 0.0475 + 0.0099 = 0.0574 $

• 计算真正患有乙肝的概率 $ P(\text{乙肝}|\text{阳性}) $： $ P(\text{乙肝}|\text{阳性}) = \frac{P(\text{阳性}|\text{乙肝}) \times P(\text{乙肝})}{P(\text{阳性})} $ $ P(\text{乙肝}|\text{阳性}) = \frac{0.95 \times 0.005}{0.0574} \approx 0.0831 $

🔎 复查阳性结果下乙肝概率计算

如果复查结果还是阳性，我们可以使用同样的贝叶斯定理来更新概率。假设复查的阳性结果与第一次独立，我们有：

• 已知条件：

  • $ P(\text{阳性复查}|\text{乙肝}) = 0.95 $（乙肝患者复查阳性的概率）
  • $ P(\text{阳性复查}|\text{非乙肝}) = 0.01 $（非乙肝患者复查阳性的概率）

• 计算在已知第一次阳性的情况下，复查阳性的总概率 $ P(\text{阳性复查}|\text{阳性}) $： $ P(\text{阳性复查}|\text{阳性}) = P(\text{阳性复查}|\text{乙肝}) \times P(\text{乙肝}|\text{阳性}) + P(\text{阳性复查}|\text{非乙肝}) \times (1 - P(\text{乙肝}|\text{阳性})) $ $ P(\text{阳性复查}|\text{阳性}) = 0.95 \times 0.0831 + 0.01 \times (1 - 0.0831) $ $ P(\text{阳性复查}|\text{阳性}) = 0.0788 + 0.0009 = 0.0797 $

• 计算在已知两次阳性的情况下，真正患有乙肝的概率 $ P(\text{乙肝}|\text{阳性复查}, \text{阳性}) $： $ P(\text{乙肝}|\text{阳性复查}, \text{阳性}) = \frac{P(\text{阳性复查}|\text{乙肝}) \times P(\text{乙肝}|\text{阳性})}{P(\text{阳性复查}|\text{阳性})} $ $ P(\text{乙肝}|\text{阳性复查}, \text{阳性}) = \frac{0.95 \times 0.0831}{0.0797} \approx 0.96 $

📝 结论与建议

• 第一次阳性结果：此人真正患有乙肝的概率约为8.31%。