字符串模式匹配KMP算法中滑动函数的计算方法

KMP算法中的滑动函数，也称为"next"数组或"部分匹配"表，是算法的核心部分之一。它用于在发生失配时确定模式串（子串）应该向右滑动多远，以利用之前已经匹配的信息，从而避免重新检查已经匹配的字符。以下是KMP算法中滑动函数的计算方法：

1. 初始化：首先，需要初始化一个长度与模式串相同的数组next，用于存储每个位置的滑动信息。next[i]表示在模式串的第i个字符处发生失配时，模式串应该滑动到哪个位置重新开始匹配。

2. 填充next数组：从next[0]开始，将其设置为-1，表示如果模式串的第一个字符就失配，那么整个模式串需要向左滑动到最开始的位置。然后，对于next[1]到next[len - 1]（其中len是模式串的长度），根据以下规则进行填充：

   • 如果当前位置的字符之前已经完全匹配，那么next[i]可以继承之前匹配的子串的next值。即如果pattern[0...i-1]与某个前缀相匹配，那么next[i]可以设置为next[i-1]。
   • 如果当前位置的字符之前没有完全匹配，但是部分匹配，那么需要找到最长的相同前缀和后缀，使得这个前缀的next值可以作为当前位置的next值。

3. 计算next数组的递归公式：对于i > 0，next[i]的值可以通过以下递归公式计算得出： $\text{next}[i] = \begin{cases} \text{next}[\text{next}[i-1]] + 1, & \text{if } \text{pattern}[i-1] \neq \text{pattern}[\text{next}[i-1]] \\ \text{next}[i-1], & \text{if } \text{pattern}[i-1] = \text{pattern}[\text{next}[i-1]] \text{ and } \text{next}[i-1] \neq -1 \\ 0, & \text{if } \text{pattern}[i-1] = \text{pattern}[\text{next}[i-1]] \text{ and } \text{next}[i-1] = -1 \end{cases}$ 这个公式考虑了当前字符与next数组中记录的字符是否相同，以及next数组中的值是否为-1。

4. 优化：在实际应用中，为了提高效率，可以使用nextval数组来辅助计算next数组，nextval[i]表示在next[i]位置的字符之前，最长的相同前缀和后缀的长度。

通过上述步骤，可以计算出KMP算法中的滑动函数，即next数组。这个数组在算法的匹配过程中起到了关键作用，使得在发生失配时，模式串能够快速地滑动到合适的位置，而不是简单地回溯到下一个字符重新开始匹配。78