已知某因果LSI数字滤波器的差分方程为y(n)+0.5y(n-1)-0.36y(n-2)=3x(n)+0.1x(n-1)，则其系统函数H(z)=①，频率响应H(ejω)=②，输入x(n)=ej0.01n时，系统的零状态响应yzs(n)=③；系统的单位采样响应h(n)=④；当系统输入x(n)=（0.5）nu(n)时，系统的响应初值y(0)=⑤，终值y(∞)=⑥。

对于给定的因果LSI（线性时不变）数字滤波器，我们可以根据其差分方程来确定系统函数H(z)、频率响应H(ejω)、零状态响应yzs(n)、单位采样响应h(n)以及系统响应的初值和终值。

系统函数H(z)

首先，根据差分方程： $y(n) + 0.5y(n-1) - 0.36y(n-2) = 3x(n) + 0.1x(n-1)$ 我们可以将其转换为系统函数H(z)的形式。将差分方程中的y(n)、y(n-1)和y(n-2)用z的幂次表示，x(n)和x(n-1)同样用z的幂次表示，得到： $H(z) = \frac{Y(z)}{X(z)} = \frac{3 + 0.1z^{-1}}{1 + 0.5z^{-1} - 0.36z^{-2}}$ 这里，Y(z)和X(z)分别是输出和输入信号的Z变换。

频率响应H(ejω)

系统函数H(z)可以通过将z替换为$e^{j\omega}$来得到频率响应H(ejω)： $H(e^{j\omega}) = \frac{3 + 0.1e^{-j\omega}}{1 + 0.5e^{-j\omega} - 0.36e^{-2j\omega}}$

零状态响应yzs(n)

当输入信号x(n)为$e^{j0.01n}$时，系统的零状态响应yzs(n)可以通过将输入信号的Z变换代入系统函数H(z)来求得。由于输入信号是复指数信号，其Z变换为： $X(z) = \frac{1}{1 - e^{j0.01}z^{-1}}$ 将此代入系统函数H(z)，可以得到零状态响应的Z变换，然后逆Z变换得到yzs(n)。

单位采样响应h(n)

单位采样响应h(n)是系统对单位脉冲输入δ(n)的响应。由于因果系统的特性，h(n)可以通过系统函数H(z)的逆Z变换得到： $h(n) = \text{IDFT} \left\{ \frac{3 + 0.1z^{-1}}{1 + 0.5z^{-1} - 0.36z^{-2}} \right\}$

系统响应的初值和终值

当系统输入为$x(n) = (0.5)^n u(n)$时，系统的响应可以通过将输入信号的Z变换代入系统函数H(z)来求得。输入信号的Z变换为： $X(z) = \frac{0.5}{1 - 0.5z^{-1}}$ 将此代入系统函数H(z)，可以得到系统响应的Z变换，然后求得初值y(0)和终值y(∞)。

由于这个问题需要进行详细的数学计算和变换，具体的数值结果需要通过计算软件或手工计算得到。上述步骤提供了求解这个问题的理论框架。1