简述多元线性回归及3种正则化方法的损失函数

多元线性回归是一种统计学方法，用于分析两个或多个自变量（解释变量）与一个因变量（响应变量）之间的线性关系。其基本形式可以表示为 $Y = \beta_0 + \beta_1X_1 + \beta_2X_2 + ... + \beta_nX_n + \epsilon$，其中 $Y$ 是因变量，$X_1, X_2, ..., X_n$ 是自变量，$\beta_0, \beta_1, ..., \beta_n$ 是回归系数，而 $\epsilon$ 是误差项13。

损失函数

多元线性回归的损失函数通常采用离差平方和的形式，即最小二乘法（OLS），其表达式为： $\text{MSE} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (Y_i - (\beta_0 + \beta_1X_{1i} + ... + \beta_nX_{ni}))^2$ 这里，$Y_i$ 是第 $i$ 个观测值，$X_{1i}, ..., X_{ni}$ 是第 $i$ 个观测值的自变量，$n$ 是样本数量5。

正则化方法

正则化技术通过在损失函数中添加惩罚项来防止模型过拟合，常见的有以下三种：

1. L1 正则化（Lasso 正则化）： L1 正则化通过向损失函数添加绝对值系数的和作为惩罚项，促使一些系数变为零，从而实现特征选择。其损失函数为： $\text{L1 Loss} = \text{MSE} + \lambda \sum_{j=1}^{n} |\beta_j|$ 其中，$\lambda$ 是正则化参数，控制惩罚项的强度610。

2. L2 正则化（Ridge 正则化）： L2 正则化通过添加系数平方和作为惩罚项，使得系数不会太大，但不会将它们缩减至零。其损失函数为： $\text{L2 Loss} = \text{MSE} + \lambda \sum_{j=1}^{n} \beta_j^2$ 同样，$\lambda$ 是正则化参数610。

3. Elastic Net 正则化： Elastic Net 结合了 L1 和 L2 正则化的特点，同时惩罚系数的绝对值和平方值。其损失函数为： $\text{Elastic Net Loss} = \text{MSE} + \lambda_1 \sum_{j=1}^{n} |\beta_j| + \lambda_2 \sum_{j=1}^{n} \beta_j^2$ 这里，$\lambda_1$ 和 $\lambda_2$ 是正则化参数，分别控制 L1 和 L2 正则化项的强度10。

正则化项的选择和参数的调整对于模型的性能至关重要，它们可以帮助模型在偏差和方差之间取得平衡，提高模型的泛化能力78。