什么样的函数一定是连续函数

函数连续性的条件

• 定义域内无间断：函数在定义域内每一点都有定义，没有出现断点。
• 极限存在：函数在每一点的左极限和右极限都存在，并且等于该点的函数值。
• 极限等于函数值：对于任意点 $ x_0 $，都有 $ \lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0) $。2

函数连续性与可导性

• 可导性与连续性：如果一个函数在某点可导，那么它在该点一定连续。3

函数连续性的应用

• 微积分概念：在微积分中，连续性是许多主要概念、定理、公式和法则的前提条件。4

函数连续性的判定

• 邻域内定义：函数在点 $ x_0 $ 的某个邻域内有定义。
• 极限存在性：函数在 $ x_0 $ 处的左极限和右极限都存在。
• 极限与函数值相等：左极限、右极限与函数值相等，即 $ \lim_{x \to x_0^-} f(x) = \lim_{x \to x_0^+} f(x) = f(x_0) $。1