Lipschitz条件

Lipschitz条件是一种函数光滑性的条件，它限制了函数变化的速度，确保函数的斜率有界。具体来说，如果存在一个常数$K$，使得对于函数$f$定义域内的任意两点$x_1$和$x_2$，都有$|f(x_1) - f(x_2)| \leq K|x_1 - x_2|$，则称$f$满足Lipschitz条件。135

这种条件比通常的连续性更强，但比可微性弱。满足Lipschitz条件的函数不仅一致连续，而且如果定义在实数集的子集上，它几乎处处可微。此外，Lipschitz条件在微分方程的皮卡-林德洛夫定理中扮演重要角色，确保了初值问题的解的存在性。14

Lipschitz条件还有几个重要的性质，例如bi-Lipschitz函数是单射的，Kirszbraun定理说明了在一定条件下，可以扩展Lipschitz函数以保持其Lipschitz性质。1此外，Lipschitz连续也是一种特殊的Hölder连续，适用于多维空间中的函数。26