分数次幂的运算

分数次幂的运算涉及将一个数提升到一个分数的幂。1 这可以通过两种方式理解：首先取幂，然后取根，或者先取根，再取幂。例如，$x^{m/n}$ 可以解释为 $x$ 的 $n$ 次方根的 $m$ 次幂，也可以解释为 $x$ 的 $m$ 次幂的 $n$ 次方根。1

运算法则

• 指数相乘，底数不变：$x^{m/n} \times x^{p/q} = x^{(m/n + p/q)}$。7
• 幂的乘方：$(x^{m/n})^k = x^{(m/n) \times k}$。7
• 积的幂：$(x^m \times y^n)^{1/r} = x^{m/r} \times y^{n/r}$。7

具体例子

• 计算 $4^{3/2}$：可以先计算 $4^3$ 得到 $64$，然后取平方根得到 $8$。或者先取 $4$ 的平方根得到 $2$，再将结果立方得到 $8$。1
• 计算 $(1/3)^{1/2}$：这等同于求 $1/3$ 的平方根，结果通常是无理数，需要用小数或根号表示。2

运算技巧

• 对于复杂的分数指数，如 $x^{m/n}$，可以先处理整数部分和分数部分，然后应用指数法则。1
• 负指数表示倒数，例如 $x^{-n} = 1/x^n$。7

分数次幂的运算是代数中的一个重要部分，理解其运算法则对于解决更复杂的数学问题至关重要。